RESUMES DES  EXPOSES DU
COLLOQUE TOURNANT

 THÉORIE DES REPRÉSENTATIONS


Jeudi 12 janvier 2006

14h30 : Hervé Sabourin, Construction explicite de représentations unipotentes d'un groupe de Lie réel simple par la méthode des orbites

Un  problème important en théorie des représentations consiste à décrire de manière suffisamment explicite le dual unitaire $\widehat{G}$ d'un groupe de Lie réel connexe et simplement connexe $G$, l'idée étant de pouvoir donner pour chaque représentation de $\widehat{G}$ une réalisation concrète à l'aide d'un modèle géométrique adapté.

Historiquement, cette étude a été initiée par A.A.Kirillov, lorsque $G$ est nilpotent; dans ce cas, il existe une bijection permettant de relier $\widehat{G}$ à l'ensemble des orbites coadjointes.

Lorsque $G$ est simple, connexe  et simplement connexe, d'algèbre de Lie $\mathfrak g$, il existe une manière naturelle d'associer à tout élément $\widehat{G}$ une $G_{\mathbb C}$-orbite nilpotente dans la complexifiée de $\mathfrak g$.  Inversement, nous nous posons la question suivante :

Etant donné une $G$- orbite nilpotente $O$, existe-t-il  $\pi \in\widehat{G}$ qui soit associée \`a $O_{\mathbb C}$ par la méthode évoquée précedemment ? et si oui, peut-on donner de $\pi$ une réalisation explicite?

Si $O$ est de dimension minimale, une réponse a été apportée à cette  question  par de nombreux auteurs mais le cas non minimal reste encore largement ouvert. Lorsque $O$ est une orbite nilpotente sphérique de $sl_n({\mathbb R})$, nous construisons, par une  méthode due à Michel  Duflo et Pierre Torasso, une famille de représentations du  revêtement à deux feuillets de $SL_n({\mathbb R})$, en donnons une réalisation explicite et montrons enfin qu'elle répond bien à la question posée.



15h50 : Charlotte Dezélée, Algèbre de Cherednik et dualité de Schur-Weyl
 

16h50 : Nicolas Marconnet, Idéaux d'algèbres AS-régulières cubiques

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Koen De Naeghel.

Les algèbres Artin-Schelter régulières (ou AS-régulières) sont des analogues non-commutatifs
 d'algèbres de polynômes. Ces algèbres ont été classifiées en dimension 3 et  sont à relations  quadratiques ou cubiques. Dans cet exposé nous nous intéressons à la classification des idéaux gradués réflexifs d'une algèbre AS-régulière cubique. A l'aide de résultats de géométrie algébrique non-commutative nous montrons que sous certaines hypothèses l'ensemble de ces idéaux est paramétré par une union de variétés affines lisses.
 

Vendredi 13 janvier 2006

9h00 : Sébastien Jansou, Exemples de schémas de Hilbert invariants
Si G est un groupe réductif connexe complexe et V un G-module rationnel de
dimension finie, V. Alexeev et M. Brion ont construit le schéma de Hilbert
invariant, qui paramètre les sous-schémas de V fermés, G-stables dont l'algèbre
des fonctions donne une représentation de G à multiplicités finies fixées. On
décrira ce schéma dans le cas le plus simple, qui paramètre les déformations
invariantes du cône des vecteurs de plus haut poids dans un G-module
irréductible. La classification que l'on obtiendra est liée à celles (déjà
connues) des algèbres de Jordan simples complexes d'une part, et des paires de
variétés de drapeaux dont l'une est un diviseur ample de l'autre.

10h00 : Ion Mihai, Variétés de drapeaux symplectiques impaires

Le groupe symplectique impair est un analogue du groupe symplectique défini en partant d'un espace vectoriel complexe de dimension impaire. Il agit sur les variétés de drapeaux symplectiques impaires, qui sont des généralisations naturelles des variétés de drapeaux symplectiques -- les variétés projectives homogènes sous le groupe symplectique. A la différence du cas pair, le groupe symplectique impair n'est pas réductif, et son action sur les variétés de drapeaux symplectiques impaires n'est pas transitive. Cependant, nous montrerons que ces variétés ont des propriétés qui les rapprochent des variétés homogènes, et que de ce point de vue on peut voir les variétés de drapeaux symplectiques et leurs cousines impaires comme faisant partie d'une même << série >>.

11h20 : Peter Littelmann, Demazure modules, Weyl modules and fusion products for current algebras

We will present five different types of finite dimensional modules
for the current algebra and the loop algebra of a simple Lie algebra
and it's quantized version, and we will show that in the simple
laced case these modules are "all the same".




15h00 : Xavier Yvonne, Une conjecture pour les v-algèbres de Schur cyclotomiques
 

La formule sommatoire de Jantzen pour les v-algèbres de Schur
cyclotomiques donne une identité pour des q-analogues des matrices de
décomposition de ces algèbres. Nous avons une identité similaire pour les
matrices de transition des bases canoniques d'espaces de Fock de niveau
supérieur. Nous conjecturons alors, pour un choix approprié de paramètres,
que ces matrices sont égales ; en particulier, les matrices de
décomposition des v-algèbres de Schur cyclotomiques s'obtiennent en
spécialisant à q=1 certaines matrices de transition entre la base
standard et la base canonique d'un espace de Fock.


16h30 :
Damien Calaque, Quantification des r-matrices dynamiques via la formalite

On commence par rappeler la définition des r-matrices dynamiques et de leur analogues quantiques, les twists dynamiques. On reexprime ensuite ces définitions en termes d'éléments de Maurer-Cartan pour des algèbres de Lie différentielles graduées approprieés. On démontre enfin (sous une hypothese de réductivite) que ces algèbres sont L_infty-quasi-isomorphes, ce qui nous permet non seulement de démontrer l'existence de quantifications mais également de les classifier.

Samedi 14 janvier 2006

9h00 : Olivier Brunat, Sur les caractères des groupes de Suzuki et de Rée
Soit $H$ un groupe de Suzuki ou de Ree, alors il existe $G$ un groupe
de Chevalley fini de Type $B_2$ ou $G_2$ muni d'un automorphisme $\sigma$
d'ordre $2$, tel que $H=G^{\sigma}$ est le sous-groupe des points-fixes
de $G$ sous $\sigma$.
On se propose d'etudier le groupe $G\rtimes \langle \sigma \rangle$ (en
particulier de calculer sa table des caractères), puis de l'utiliser
afin d'obtenir des résultats sur les caractères de $G^{\sigma}$.


10h00 : Mouny Samymodeliar, Superrésolutions et quotients de Brauer supérieurs

Mes recherches portent sur les foncteurs de Mackey. Dans ma thèse, j'ai étudié les résolutions projectives des foncteurs cohomologiques. Ces résolutions peuvent se ramener à des résolutions particulières de RG-modules, que j'ai appelées superrésolutions. Ce sont en fait les résolutions de RG-modules de permutations dont les points fixes des modules qui la composent par n'importe quel sous-groupe de G forment encore une résolution. A partir de cela on peut étendre le quotient de Brauer classique à ce que j'ai appelé les  quotients de Brauer supérieurs . J'ai choisi de ne pas parler de foncteur de Mackey afin de ne pas alourdir l'exposé avec un surplus de définitions. J'exposerai différentes manières de construire ces superrésolutions, ce qui donnera au passage une caractérisation des modules de permutation. Je donnerai également différentes expressions des quotients de Brauer supérieurs. Enfin je traiterai dans ce cadre le cas des groupes cycliques et du groupe de Klein.

11h20 : Michel Broué, Groupes algébriques sur les corps finis et groupes de réflexions